1987 年，休斯顿大学的 Siemion Fajtlowicz 将名为 residue 的图论不变量用于自动猜想程序 Graffiti。此后，研究者进一步追问：如果把这个计算用在「公因子图」上——顶点是 2 到 n 的所有整数，两个数共享一个大于 1 的因子就连一条边——这个粗糙的 residue 能逼近真正的素数个数吗？
Paul Erdős 接过了这个问题。他和图论学家 William Staton 一起推导出了一个下界，常数项里出现了 ζ(2) = π²/6。Staton 猜测这个下界给出了准确的渐近值。Fajtlowicz 将相关问题记入了「Written on the Wall」这份 Graffiti 猜想的官方清单，编号 Conjecture 448。
2026 年 7 月 29 日，FirstPrinciples 的研究员 Randy Davila 介绍了借助 Theo Conjecture AI 系统得到的证明。按团队说明，结果还包含原猜想未给出的二阶项。研究手稿已于 7 月 28 日上传至 ResearchGate，尚未经过同行评审。[^1][^2]
这项工作还展示了人机协作的具体分工：AI 提出候选、调用精确计算，研究者负责数学论证。团队公开了被排除的想法，便于外部理解结论如何形成；完整复现仍需结合代码和数据检查。
用顶点度数得到一个不超过素数个数的量
先从那个「粗糙的 residue」说起。
Havel-Hakimi 过程是一个纯粹的度数操作：把一个图的所有顶点按度数从大到小排列，取出最大的度数 d，划掉它，然后把列表中接下来 d 个度数各减 1，重新排序并重复，直到剩余项全为 0。这时零的个数就叫 residue，记作 R(G)。Favaron、Mahéo 和 Saclé 证明了 R(G) 永远不会超过图的最大独立集大小 α(G)——独立集就是图里两两不相连的顶点集合。[^3]
接下来看那个「公因子图」Gₙ。顶点是 2 到 n 的所有整数，两个数只要共享一个大于 1 的因子就连边。在图 G₃₀ 里，6 连着 10（共享因子 2），15 连着 25（共享因子 5），而所有素数——2、3、5、7、11、13、17、19、23、29——两两之间都没有边。
全体素数构成了 Gₙ 的一个最大独立集，因为在任意两两互素的整数集合中，从每个数各取一个素因子，取出的素数必然互异，所以集合大小永远不超过 π(n)——素数计数函数。这就给出了一个简洁的恒等式 α(Gₙ) = π(n)。
结合 residue 的下界性质 R(G) ≤ α(G)，得到 R(Gₙ) ≤ π(n)。也就是说，只靠度数信息算出来的 residue，天然地给出了素数个数的一个下界。问题是这个下界有多紧：丢掉几乎所有图结构信息之后，residue 还能捕捉到素数计数的领头阶吗？
Erdős 和 Staton 证明了 residue 至少以 n/log n 的速率增长，和 π(n) 本身的增长率相同，并将下界的领头系数确定为：ζ(2) − 1 = π²/6 − 1 ≈ 0.644934。Staton 进一步猜测这个下界就是渐近精确值：R(Gₙ) ∼ (ζ(2) − 1)·n/log n。数值实验支持到 n = 10,000。但上界的严格证明始终缺失。[^1]
老程序提出的问题，经历史文献核对后重新研究
Fajtlowicz 的 Graffiti 是 1980 年代中期的一次自动生成数学猜想的实验。程序存储了一组图及其数值属性，用启发式规则生成候选不等式，然后过滤掉那些「正确但无趣」的陈述。Fajtlowicz 的目标不只是生成公式，而是试图理解什么让一个数学陈述值得数学家花时间。Graffiti 产生的猜想最终催生了上百篇论文，吸引了 Erdős、Fan Chung、László Lovász 等数学家的关注。Erdős 本人和 Graffiti 有一种天然的契合——Fajtlowicz 曾总结：「不管有什么差异，Erdős 和 Graffiti 有一个共同点：他们的想法都深深植根于例子。」[^1]
Randy Davila 是这条路径的继承者。他 2016 年开始构建 TxGraffiti，一个 Graffiti 的现代后继。2025 年，Davila 独立重建了公因子图的问题和数据，将计算结果发给数论学家 Jeffrey Lagarias，后者追溯到了 Fajtlowicz 散落的历史文档。按团队查到的历史记录，Erdős–Staton 问题仍缺少公开的渐近上界证明。[^2]
Davila 把这个问题交给了 Theo Conjecture。
系统保存失败猜想，用精确计算筛除候选
Theo Conjecture 将提出猜想、调用工具和保存实验结果组合成迭代流程，主要由四个组件组成：
**注册表（Registry）**存储数学对象、属性、候选关系和反例，包括之前失败的想法。LLM Agent 作为决策者，负责重组问题、选择下一步尝试的方向并调用工具。组合猜想引擎在注册表数据上搜索候选不等式，扩大候选关系的搜索范围。精确计算负责执行严格的数值测试并说「不」——当某个猜想被反例推翻时，这个失败不会被丢弃，而是作为新条目回到注册表，成为后续搜索的约束。[^1]
最后，任何一个声明在成为定理之前，都必须经过人类数学家的审查。
在这次任务中，Theo Conjecture 的第一个猜想就错了。它试图用「无重复素因子的数的数量」来解释 residue，预测值和实际值的偏差随着 n 增大不断扩大，到大数值时差了 739。这个想法被彻底排除。
更好的匹配来自 Caro-Wei 和——一个同样只看度数但用更精细方式加权求和的下界。用它来表述时，推导中出现了 ζ(2) − 1 这一常数，而且一个额外的二阶项也随之浮现。但 Caro-Wei 和只能给出下界；要得到匹配的上界，还需要利用图结构补充论证。[^1]
Davila 的证明用了一个巧妙的构造：既然 residue 只看度数、不关心谁连着谁，那就可以在不改变每个顶点度数的前提下重新布线。素数按度数分组——多数相关的低度数素数被分入团（团内两两相连），再通过合数顶点间的连接调整补回度数。在这个改造后的图中，最大独立集的结构被大幅简化，上界估计变得可行。[^1][^2]
手稿给出渐近公式，并补充二阶修正项
手稿提出的定理是：
R(Gₙ) = c₀ · n/log n + (c₀ − A) · n/log²n + O(n/log³n)
其中 c₀ = ζ(2) − 1 ≈ 0.644934，而 A ≈ 0.3201986326 是一个此前从未被预测到的常数，由一个无穷级数定义：A = Σ(k=2→∞) log k / [k²(k−1)]。
由这个公式可以得到极限关系 R(Gₙ) · log n / n → ζ(2) − 1，对应 Staton 原猜想的渐近关系。也可以反过来读：π(n) / R(Gₙ) → 1.550546…。也就是说，只靠度数信息算出来的 residue，在无穷远处稳定地捕获了素数个数的一个固定比例，而不是逐渐失真。[^1]
这一结果没有提供更快的素数计数方法，也未解决黎曼猜想。ζ(2) 的出现来自对素因子形成的分层乘法结构求和，图论证明则解释了只依赖度数的 residue 为何会包含这一常数。
团队还强调了二阶项：它不告诉你 residue 最终往哪去，而是告诉你有限图以多快的速度逼近那个极限。原猜想未给出这一项。[^2]
论文还留下了一个更紧的开放问题：在所有测试过的 n 值上（连续测到 10,000，抽查到一百万），residue 从未偏离上取整的 Caro-Wei 和超过 2 个整数。如果这个约束能被证明，residue 与上取整的 Caro-Wei 和之间的差就有了不随 n 增长的常数上界。这里比较的是完整的 Caro-Wei 和，而非只保留前两项的渐近公式。[^1]
人类负责证明，跨领域复用仍需验证
把 Theo Conjecture 和近期的 AI 数学突破放在一起看，可以比较研究流程和验证方式。
2026 年 5 月，OpenAI 的内部推理模型推翻了 Erdős 1946 年提出的单位距离猜想，发现了一族比经典正方网格更好的新构造。相关报道将其描述为通用推理模型参与解决著名开放问题的重要案例，在数学界引起的震动之大，以至于当年某数学会议上「有人开玩笑说数学家很快就要被淘汰了」。[^4] 6 月到 7 月间，Anthropic 的 Claude Fable 5 在数学家 Levent Alpöge 的引导下，又找到了 Jacobian 猜想的反例。16 所大学的 27 名研究者随之发布《莱顿 AI 与数学宣言》，呼吁建立新的验证标准。[^5]
Theo Conjecture 采用的是领域专用工具链，其中 LLM 的角色被压缩到决策和重组，候选搜索和数值测试由可检查的组件承担。Davila 的手稿明确标注了作者身份，每个被提升为定理的声明都独立于计算搜索进行论证。这种分工使得结果可以被逐行审计，而不是依赖模型输出的可信度。[^2]
但这同时也意味着一个问题：这种工作流能否被搬运到其他领域？Theo Conjecture 的设计高度耦合于「候选不等式 + 反例测试 + 度数操作」的组合数学范式。FirstPrinciples 宣称其更广泛的 Theo 项目拥有五个专用模型、超过 1200 亿参数，训练语料覆盖超过 300 万篇科学论文，目标是构建一个「像物理学家一样推理」的 AI 系统。但目前这些数字是公司自行披露的，Davila 这篇数学手稿并没有为那个更大规模的模型栈提供验证。[^2]
FirstPrinciples 由 StackAdapt 前 CEO Ildar Shar 于 2024 年创立，定位是一个「为 AI 驱动的科学发现构建系统」的研究公司。商业模式尚不明确——Theo Conjecture 和 Theo Collaborator 目前都挂着「Research Preview」的标签。[^1][^2]
Graffiti 的角色是提出一个关系并把它交给数学家判断。Theo Conjecture 把这个交换变成了一个持续的迭代循环。它的注册表不仅存储公式和例子，还存储失败的猜想、反例和被放弃的表示法。语言模型可以重组问题、决定下一步；猜想引擎提供广度；精确计算负责否决；人类顾问掌握研究方向并审查最终证明。这种分工把候选、反例与失败记录保留下来，供后续搜索使用，也让研究者能够追查每一步依据。
Conjecture 448 的新手稿为这一长期问题提供了待审查的答案。后续仍需核对证明，并测试同样的流程能否用于其他问题。
[^1]: FirstPrinciples, "AI system 'Theo Conjecture' solves 35-year-old math conjecture," Jul 29, 2026. https://firstprinciples.com/blog-article/ai-system-theo-conjecture-solves-35-year-old-math-conjecture
[^2]: Ryan Merket, "FirstPrinciples researcher posts AI-assisted preprint on 1989 graph conjecture," RuntimeWire, Jul 29, 2026. https://runtimewire.com/article/firstprinciples-theo-1989-graph-theory-conjecture
[^3]: Favaron, Mahéo, Saclé, "On the residue of a graph," Journal of Graph Theory 15(1):39–64, 1991. https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190150107
[^4]: Joseph Howlett, "AI just solved an 80-year-old 'Erdős problem,' and mathematicians are amazed," Scientific American, May 21, 2026. https://www.scientificamerican.com/article/ai-just-solved-an-80-year-old-erdos-problem-and-mathematicians-are-amazed
[^5]: "Mathematicians grapple with a 'very rapid and very unsettling change' as AI cracks yet another century-old problem," Fortune, Jul 21, 2026. https://fortune.com/2026/07/21/ai-solves-jacobian-conjecture-levant-alpoge-claude-fable-5
