8 月 11 日，Anthropic 公开了一项由未发布研究版 Claude 完成的纯数学结果——将黎曼 zeta 函数零点在临界线上的比例下界从 41.6% 提升至 67.2%。自 2020 年这一下界停留在 5/12（约 41.67%）以来，再无人推进。Claude 不仅拿出了新证明，而且所用方法完全绕开了过去一个世纪所有进展所依赖的技术路径。
论文仅有 34 页，简短到反常。结果经 Anthropic 内部两位数学家验证，经过 Lean 4 形式化检查通过，并交由解析数论专家 Brian Conrey 和 Dan Goldston 审查。作者署名是 Claude。
从 Levinson 到线性代数：为什么方法比结果更重要
自 1942 年 Selberg 首次证明正比例的零点落在临界线上以来，所有提升下界的工作——Levinson（1974，1/3）、Conrey（1989，2/5）、Pratt 等人（2020，5/12）——都依赖同一技术路线：Levinson 的 mollifier 方法。这一方法本质上是构造一个精心设计的辅助函数来"抚平"zeta 函数在临界线附近的行为。
Claude 走了一条完全不同的路。
它从 Montgomery 1973 年关于零点对关联的论文出发。Montgomery 的论证在假设黎曼假设（RH）成立的条件下给出了 2/3 的下界；去除 RH 后论证断裂——零点的复数值导致项级正性消失，无法通过符号分离对角线项。Baluyot、Goldston、Suriajaya 和 Turnage-Butterbaugh 近年的一系列工作已经将 Montgomery 的素数侧计算完全无条件化，Goldston 和 Suriajaya 进一步隔离了剩余障碍：正是项级正性的缺失。
Claude 的贡献是把这个问题重新理解为线性代数问题。它将 Weil 的显式公式（一个将零点求和转化为素数求和的 Hermitian 形式）限制到一个有限维函数族上，得到一个 d×d 实对称矩阵。在零点侧，每个临界线上的点贡献一个正定秩一矩阵，每对偏离临界线的零点贡献一个 (1,1) 型双曲块。在素数侧，矩阵的迹和 Frobenius 范数可以通过 Montgomery 型的素数求和无条件计算。然后用 Sylvester 惯性定律和 von Neumann 迹不等式连接两侧——不需要逐项正性，不需要 mollifier，不需要零点密度估计或零自由区。
这个论证的优雅之处在于：它从第一和第二阶矩信息（即"总共有多少零点"和"它们如何成对分布"）中榨取了比之前任何方法都强的结论。论文同时证明至少 2/3 的零点是简单且在临界线上的，至少 5/6 的零点是互不相同的。论文在 Remark 1.1 中明确给出了方法的上限：使用同样的"带宽为一"的对关联信息，任何此类证书最多只能证明约 68.185% 的零点在临界线上——当前最优的 67.25%（通过优化测试函数族获得）距此仅差 0.016。超越这一上限需要完全超出当前知识范围的、带宽更高的对关联信息。换句说话，这条技术路线的天花板已经很近，但它已经被 Claude 几乎触及。
非数学家、650 个想法和鼓励性 prompt
论文附录 C 记录了发现过程的细节，这部分本身几乎和数学结果一样值得关注。
一位并非数学家的 Anthropic 员工 Jarred Sumner 向 Claude 发出提示，要求它"认真尝试"证明黎曼猜想。Claude 生成了 650 个初始想法，无一成功。Sumner 提示它再试一次，Claude 随后协调了约 60 个子 Agent，耗时一天半。整个过程消耗了约 3100 万 token。
论文脚注说明了子 Agent 的分工：2 个负责开发关键数学想法，13 个为这些想法提供输入，30 个尝试但未能开发出新想法，13 个担任验证者检查论证正确性，最后 2 个协助撰写初稿。在数小时的自主工作中，子 Agent 运行了 2400 条 shell 命令、编写了数百个 Python 脚本，对已知 zeta 零点进行了数千次数值检查，并相互审查对方的工作。
Sumner 的角色几乎仅限于发送鼓励性消息——主要是"继续"或"相信你自己"的变体。Anthropic 研究博客提到，Claude 起初对自己的能力持怀疑态度，"可能是因为从训练中了解到开放数学问题的难度以及 AI 模型的局限性。"鼓励性提示似乎帮助它克服了这种初始怀疑。
Claude 在发现结果后自主进行了多轮验证：让不同子 Agent 审查证明、搜索反例、下载 54 篇 arXiv 论文确认未被前人发现、独立从头重新证明。它还主动建议将结果写成论文，并推荐由人类数论专家验证。
两层验证：人类数学家与 Lean 形式化
与 OpenAI 在 8 月 1 日公布的 Astra 十大数学突破类似，Anthropic 也为 Claude 的结果建立了两层验证体系。
第一层是人类验证。Anthropic 的两位数学家 Levent Alpöge 和 Ralph Furman 研究了 Claude 的论证，将其置于现有文献的语境中，并为结果的公开发布承担责任。Alpöge 本人上个月刚因使用 Claude Fable 5 构造了 Jacobian 猜想的反例而引起关注。外部专家 Brian Conrey（美国数学学会前主席，其 1989 年的工作将零点比例推至 2/5 以上）和 Dan Goldston（其近年工作为 Claude 的突破提供了关键前提）也审查了论文。
第二层是 Lean 4 形式化。论文的核心定理（A 到 E）已在 Mathlib 的 zeta 函数定义上完成形式化，通过了标准验证工具 comparator 的检查。仓库的审计记录显示，定理类型不含未关闭的假设，证明仅依赖 Lean 的三个标准公理。此外，主要常数项也经过了独立的符号计算验证。
这种双重验证反映了 2026 年 AI 数学成果发布的标准正在快速形成：人类专家提供语境判断和可信度背书，形式化证明提供逐行可机器检查的正确性保证。
2026 年的 AI 数学加速
Claude 的黎曼相关结果不是孤立事件，而是 2026 年 AI 在前沿数学领域持续突破的高点。
5 月，OpenAI 宣布其模型推翻了 Erdős 平面单位距离猜想。8 月 1 日，OpenAI 公布 Astra 在十个开放问题上取得了实质性结果——从高维球堆积到非 sofic 群构造到多项式因子 CVP 难度——总推理成本约 2000 美元，附带完整的 Lean 证书。7 月，Anthropic 的数学家 Levent Alpöge 使用公开可用的 Claude Fable 5 构造了 Jacobian 猜想（1939 年提出）的反例——一个三次多项式映射，Jacobian 行列式为常数 -2，却有三个不同输入映射到同一输出。更早时候，Google DeepMind 的 AlphaProof Nexus 解决了九个 Erdős 问题。
这些进展共享一个模式：AI 模型不再只是辅助人类数学家验证或计算，而是能够自主提出研究策略、探索多条路径、在失败后调整方向，最终产生可验证的新数学知识。Claude 在这一序列中的特殊之处在于：它的成果来自完全绕过研究传统路径的原创方法论，提示者不具备相关专业知识，且整个过程中模型表现出了一定程度的自我怀疑和后续的自我纠正。
数学界的裂痕
AI 数学突破的加速正在数学界制造越来越明显的裂痕。
6 月 2 日，16 位数学家发布了《莱顿人工智能与数学宣言》，获得国际数学联盟（IMU）正式认可，截至 8 月已有超过 3400 人签署。宣言明确提出五项数学核心价值——证明的严格性、作者归属、透明可验证性、同行评估和研究自主性——并警告 AI 在每一方面都构成威胁。Fields 奖得主 Peter Scholze 在签署时写道："就像我不希望我的孩子被 AI 教育一样，我在思考数学想法时也不使用 AI，并且尽量避免阅读 AI 生成的文本。"
但并非所有人都同意这一立场。Fields 奖得主 Timothy Gowers 在 7 月 26 日的长篇博客中解释了自己为何未签署宣言。他的核心担忧不是 AI 能力过强，而是数学文化的丧失——如果 AI 能解决一切问题，没人再有动机投入数年时间深入理解一个领域，那么数学作为一门集体事业的文化传统可能消失。但他同时质疑了宣言中的几项关键主张。
他对"作者归属的人性"建议提出了最尖锐的质疑："如果我们到达了一个数学定理不再与数学家相关联的世界，也许这不会比星星不以天文学家命名、并且大多数根本没有名字这一事实更具问题性。"他认为，如果 Person A 用 LLM 一次性解决了一个重要开放问题，而 Person B 花时间消化解决方案并用其他数学家能理解的方式加以解释，那么应该是 Person B 获得大部分荣誉。
Gowers 还质疑了宣言中关于"不得在未经同意的情况下将作品用作训练数据"的建议——他指出数学家从不反对人类同行阅读他们的论文来"训练"自己成为更好的数学家，那么为什么反对机器做同样的事？他也坦承自己两次看到 GPT 5.6 Pro 一次性解决了他与年轻合作者思考了很长时间的问题，这种"地毯被抽走"的感觉"奇怪且不太愉快"。
莱顿宣言与 Gowers 之间的分歧并非"支持 AI"与"反对 AI"的对立，而是关于数学作为一种人类实践的本质之争：是保护现有的制度结构更重要，还是接受制度必然崩解并重新定义人类在数学中的角色更重要？
什么不会被改变
Claude 的论文在"什么不是结果"一节花了不寻常的篇幅划清边界：该结果"在任何方向上都不影响黎曼猜想本身"。论证只产生下界——证明至少 2/3 的零点在临界线上，对剩下 1/3 不做任何判断——它们不是被证明偏离临界线，而是根本不在这个证书的覆盖范围内。
技术的极限是结构性的。论文指出，用于产生这些结果的输入——函数方程、显式公式、长度不超过 T 的 Dirichlet 多项式的均值——对于 o(N) 个偏离临界线的零点是不敏感的，甚至可以被满足"黎曼假设为假"的 Davenport-Heilbronn 函数所满足。方法也无法通过当前路径改进常数：给定仅使用迹和 Frobenius 范数以及块结构信息，所用的不等式是最优的。
这既是诚实，也是一种声明。在 AI 公司以新闻稿和博客文章发布数学成果的时代——莱顿宣言对此明确警告——Anthropic 选择同时发布一篇包含完整证明、Lean 形式化和明确边界声明的学术论文。这一选择本身为 AI 时代的数学成果发布标准提供了参照：不是"AI 解决了 X"式的标题，而是"AI 在 X 上做出了特定贡献，这里是完整证明，这是边界，这是不能推出的结论"。
Anthropic 明确表示不期望 Claude 使用的技术最终能证明黎曼猜想。但这一结果作为"意外的副产品"——来自一个原本针对完全不同目标的实验——本身已经足够说明问题。AI 在数学研究中的角色不再是可以被忽略或简单抵制的问题。数学界正面临的选择不是"是否接受 AI"，而是在 AI 已经在能够在特定条件下产生新知识的情况下，如何重新定义验证、归属和意义的标准。